Diviseurs premiers - Corrigé

Énoncé

1. Montrer que \(6^{12}-1\) est divisible par \(13\) .

2. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(6^n-1\) est divisible par \(5\) .

3. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(6^{2n}-1\) est divisible par \(7\) .

4. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(6^{3n}-1\) est divisible par \(43\) .

5. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(6^{4n}-1\) est divisible par \(37\) .

6. En déduire cinq diviseurs premiers de \(6^{12}-1\) .

Solution

1. Comme \(13\) ne divise pas \(6\) , d'après le petit théorème de Fermat (forme forte),
on a \(6^{12}-1 \equiv 0 \ [13]\) , autrement dit \(6^{12}-1\) est divisible par \(13\) .

2. Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Comme \(6 \equiv 1 \ [5]\) , 
on a :  \(\begin{align*}6^n-1 \equiv 1^n-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \ [5]\end{align*}\)  et donc \(6^n-1\) est divisible par \(5\) .

3.   Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Comme \(6^2 \equiv 36 \equiv 7 \times 5+1 \equiv 1 \ [7]\) , 
on a :  \(\begin{align*}6^{2n}-1 \equiv (6^2)^n-1 \equiv 1^n-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \ [7]\end{align*}\)  et donc \(6^{2n}-1\) est divisible par \(7\) .

4.   Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Comme \(6^3 \equiv 216 \equiv 43 \times 5+1 \equiv 1 \ [43]\) ,
on a :  \(\begin{align*}6^{3n}-1 \equiv (6^3)^n-1 \equiv 1^n-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \ [43]\end{align*}\)  et donc \(6^{3n}-1\) est divisible par \(43\) .

5.   Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Comme \(6^4 \equiv 1296 \equiv 37 \times 35+1 \equiv 1 \ [37]\) ,
on a :  \(\begin{align*}6^{4n}-1 \equiv (6^4)^n-1 \equiv 1^n-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \ [37]\end{align*}\)  et donc \(6^{4n}-1\) est divisible par \(37\) .

6. D'après les questions 1 et 2, \(6^{12}-1\) est divisible par \(13\) et par \(5\) .
Comme \(12=2 \times 6\) , d'après la question 3, \(6^{12}-1\) est divisible par \(7\) .
Comme \(12=3 \times 4\) , d'après la question 4, \(6^{12}-1\) est divisible par \(43\) .
Comme \(12=4 \times 3\) , d'après la question 5, \(6^{12}-1\) est divisible par \(37\) .
Ainsi, \(6^{12}-1\) est divisible par \(5\) , par \(7\) , par \(13\) , par \(37\)  et par \(43\) qui sont tous premiers.

Remarque

Appliquer un raisonnement similaire avec  \(6^{6n}-1\)  permet de trouver que  \(31\)  est un sixième diviseur premier de  \(6^{12}-1\)  !